При одном и том же коде численные значения основных характеристик данной системы (скорость передачи, средний риск) существенным образом зависят от двух обстоятельств. Во-первых, от метода приема (демодуляции) сложных сигналов. Во-вторых, от того, насколько хорошо в пределах данного способа демодуляции осуществлено согласование этой процедуры с процедурой декодирования.

В синхронной двоичной системе приемник можно рассматривать как черный ящик, в котором искаженный элементарный сигнал n_j(t) преобразуется в случайную величину n_j. В соответствии с этим при передаче n-значной кодовой комбинации X_k (сообщения X_k) выход приемника характеризуется последовательностью величин

Случайная величина n_j представляет собой выборку из множества случайных величин, распределенных либо по закону W_o(n), либо по закону W₁(n). Первое имеет место, когда на j-й позиции комбинации X_k располагается символ а_jk==0, а второе—если а_jk==1.

В дальнейшем будем полагать, что оба распределения являются одномодальными, а среднее значение W₁(n) меньше, чем среднее значение W₀(n) т. е.

вводится к тому, что каждая изслучайных величин n_j в пороговом селекторе первоначально отождествляется с одним из выходных символов канала, а затем на основе сформированной таким образом n-значной комбинации принимается то или иное решение. При фиксированной структуре приемника и выбранном коде задача наивыгоднейшего сопряжения процесса демодуляции с данной процедурой декодирования сводится к поиску экстремума функций одной переменной с при некоторых дополнительных условиях, накладываемых целевым назначением системы и структурой кодовых комбинаций (с— величина порога в первой решающей схеме).

Однако даже досле решения такой задачи численные Значения основных характеристик системы существенно уличаются от величин, потенциально достижимых при идеальном декодировании в целом. К сожалению, практическая реализация вдевального декодирования связана с выполнением большого числа (M=2^m) сложных преобразований совокупности величин . В связи с этим становится понятной актуальность исследования методов сопряжения процессов демодуляции и декодирования, допускающих простую техническую реализацию и по эффективности мало уступающих идеальному декодированию в целом. Сюда в первую очередь относятся способы аналогового посимвольного дккодирования, которые позволяют опознавать переданое сообщение (информационные символы) в результате выполнения небоьшого числа (logM=m) сравнительно простых преобраований всей последоательности аналоговых случайных величин. Высокая эффективность таких методов декодирования обусловлена тем, что в них не проводится “преждевременное” квантование случайных величин на входе приемника.

Стремление создать наиболее простой двоичный декодер привело к созданию так называемых мажоритарных декодеров, которые являются наипростейшими и могут быть использованы для декодирования двоичных кодов большой длины. . Кодирующие устройства используют регистры сдвига с обратными связями по модулю два. Регистр сдвига имеет k ячеек, что равно числу информационных символов. В эти ячейки записывается слово, состоящее из информационных символов, и после сигнала пуск с выхода регистра сдвига за n тактов получаем слово циклического кода. . Структура обратных связей регистра сдвига определяется генераторным полиномом

Например, для циклического кода (21,11) с образующим многочленом

Р(х) =x¹⁰+x⁸+x⁶+x⁴+x³+1

получим

В ячейки регистра сдвига записываются информационные символы в порядке, указанном цифрами в ячейках регистра сдвига. После сигнала “пуск” при каждом такте происходят продвижение символов “1” в ячейках регистра на один символ, а о крайнюю левую ячейку (11) записывается символ, значение которого равно сумме по модулю два символов, находящихся в ячейках 1, 4, 5. 10. В ячейку 11 записываются корректирующие символы, которые являются линейной комбинацией информационных и корректирующих символов, что является характерной чертой линейного блочного кода. Таким образом, генераторный полином определяет уравнения

Рисунок 1.1 Кодер циклического кода (21, 11)

Рассмотрим процедуру мажоритарного декодирования. Будем рассматривать код (21,11).

Выберем теперь такие проверочные уравнения или их комбинации (суммы по модулю два), в которых повторяется какой-либо один символ. Такие соотношения позволяют выразить этот символ несколькими способами в виде линейной комбинации остальных символов. Каждый способ выражения данного символа через линейную комбинацию других символов назовем контрольной проверкой. Определим систему разделенных проверок, как такое множество контрольных проверок, в котором: 1) некоторый заданный символ а, входит в каждую контрольную проверну множества и 2) любой другой символ а_j , j i входит не более, чем в одну контрольную проверку. Поэтому искажение одного символа в кодовом слове может нарушить только одну проверку, а котирую входят искаженный символ. Две ошибки могут исказить не более двух проверок и t ошибок исказят не более t проверок и т. д. Очевидно, для правильного декодирования данного символа a_i достаточно, чтобы система разделенных проверок содержала не менее 2t + 1 контрольных проверок, если при приеме искажено t символов. Тогда значение символа можно определять с помощью решения “по большинству”. Если рассматриваемый код циклический, то для декодирования остальных символов также может быть использована выбранная система разделенных проверок, поскольку контрольным соотношениям удовлетворяет любое кодовое слово и в том числа слово, получаемое из данного циклическим сдвигом. При этом для декодирования символа a_i+u достаточно провести циклических сдвиг символов кодового слова на u символов и применить решение по

большинству, используя систему разделенных проверок.

1.2 Итеративные коды

В этом и следующих разделах обсуждаются аналоговые посимвольные методы декодирования, представляющие собой своеобразное сочетание идей декодирования в делом и декодирования по способу независимых решений . Для конкретности все дальнейшие рассуждения будут проводиться на примере эквидистатного кода (7,3,4):

где а_i и — либо 0, либо 1, и согласно

Если окажется, что a_i>d/2 то следует полагать, что i-й информационный символ переданной комбинации a_i=1 Если же a_i<d/2, то a_i=0. Наконец, a_i=

ситуациях, когда a_i=d/2 (принятая комбинация содержит по крайней мере d/2–кратную ошибку).

Характерной особенностью процедуры декодирования является то, что здесь значение каждого информационного символа определяется “независимо” жз анализа всей комбинации. Применение этой идеи непосредственно к случайной последовательное составляет основное существо анализируемых здесь и в следующих параграфах аналоговых посимвольных методов декодирования. Синтез такого рода методов по своему существу сводится к поиску преобразований

ри которых непрерывная величина Ai оказывается распределенной по закону W_i/0(A), когда а_i=0. и по закону W_i/1(A), когда а_i=1. При выполнении этих условий задача о значении i-го информационного символа переданной комбинации решается как задача различения гипотеp о принадлежности A_i к первому или второму распределению: следует полагать а_i=0 и а_i=1, если соответственно окажется, что

где v_i— некоторая константа (для конкретности предполагается, что среднее распределения W_i/0(A) больше, чем среднее распределения W_i/1(A)).

При известных распределениях W_i/L(A) и выбранном значении порога vi не представляет труда рассчитать условные вероятности q_1/0⁽ⁱ⁾ и q_0/1⁽ⁱ⁾ неправильного опознания символа a_i, когда его истинное значение равно 0 и 1 соответственно:

Решение задач синтеза и анализа преобразований f_i начнем с рассмотрения модульного декодирования. Применительно к коду (7, 3, 4) оно записывается так:

При модульном и ему подобных методах декодирования для расчета вероятности неправильного опознания f-го информационного символа необходимо знать распределения W_i/0(A) и W_i/1(A) (задача определения законов распределения функций случайных аргументов ). Оценки интересующих нас вероятностей связаны с определением вероятностей больших уклонений суммы случайных величин. Однако в первом приближении эти оценки находятся исходя из предположения, что распределение суммы случайных величин асимптотически сходится к нормальному закону. Такой подход широко используется ниже, ибо он существенно упрощает задачу и требует вычисления лишь значений средних и дисперсий Ai. Найдем эти величины, полагая для конкретности, что случайные величины статистически независимы, а распределения w₀(n) и w₁(n)) являются нормальными с дисперсией ² и средними, соответственно равным h и -h.

Прежде всего, как известно, среднее значение и дисперсия модуля случайной величины v, распределенной по

нормальному закону с дисперсией ² и средним h, определяются выражениями

Отметим, что численное значение среднего не зависит от знака h.

В тех ситуациях, когда а_i=0, среднее суммы случайных величин, входящее под знак модуля каждого из слагаемых i-го равенства, равно либо +2h, либо —2h, а дисперсия суммы равна 2². Поэтому среднее и дисперсия |n_r+n_s| соответственно равны

Следовательно, в такой ситуации среднее и дисперсия |n_r+n_s| соответственно равны

Оптимальное по критерию максимума обобщенного отношения правдоподобия преобразование вида

было найдено Финком Л. М. и исследовано им совместно с Каганом Б. Д. Далее такой метод опознания информационных символов называется разностно-модульным декодированием. Величины A_i вычисляются следующим образом [применительно к коду (7,3,4) и в предположении, что распределения W₀(n) и W₁(n) являются нормальными и отличаются лишь знаком среднего]:

 

 

При этом, если A_i>0, то а_i==0, если же A_i<0, то а_i==1.

символа Цветков А. Н. cовместно с <Бородиным Л. Ф. детально проанализировали статистические свойства преобразования

Выяснилось, что знак величины может быть определен как знак произведения , а равен удвоенному значению наименьшего из модулей исходных величин

Такая запись облегчает анализ и в ряде случаев, по-видимому, позволит технически просто вычислять значения A_i. Далее, если распределения и являются нормальными с одинаковыми дисперсиями и средними, равными h и – h, то величины и некоррелированны. В соответствии с этим дисперсия равна

где берется знак плюс, если и —выборки из одного и того же распределения, и знак минус, когда они являются выборками из разных распределений. Таким образом:

При вероятность неправильного декодирования равна

Очевидно, что если знаки и совпадают со знаками средних этих величин, то данная реализация как одного из слагаемых величины А_i благоприятствует правильному опознанию символа a_i. В противном случае способствует принятию неправильного решения. При этом в подавляющем большинстве ситуаций приобретает “ложный” знак благодаря тому, что знак не совпадает со знаком ее среднего значения. Таким образом, знак играет в помехоустойчивости данного метода определяющую роль, а наименьший из модулей исходных величин задает лишь меру его “ненадежности”. Основываясь на этом факте можно найти целый ряд сравнительно простых и эффективных методов^аналогового посимвольного декодирования комбинаций различных линейных кодов. в частности кодов, допускающих мажоритарное декодирование со связанными проверками.

Здесь разыскивается преобразование вида

которое обеспечивает максимум условной вероятности правильного опознания информационных символов a_i кодов типа (7,3,4) независимо друг от друга. Решаемая задача по сути дела сводится к различению по критерию максимума отношения правдоподобия двух гипотез: 1) a_i=0, т. е. является выборкой из и , принадлежат одновременно либо, либо ;

2) a,=l, т. е. является выборкой из и , принадлежат разным распределениям.

где под знак произведения входят все пары индексов слагаемых i-то уравнения системы , a —отношение вероятности того, что и являются выборками из одного распределения, к вероятности того, что они принадлежат разным распределениям Имеются основания считать

Методом, рассмотренным выше, могут быть определены значения всех символов переданной комбинации. Так, применительно к коду (7,3,4) для отыскания значений проверочных символов методом модульного декодирования прежде всего необходимо вычислить величины:

В связи с этим представляет определенный интерес найти более точные оценки, чем приведенные выше, а также разработать алгоритм опознания символа a_i, учитывающий результаты, полученные при опознании символов a_i-j (j=1,2...,i-l).

В заключение отметим, что сравнительный анализ различных методов декодирования затруднен из-за отсутствия точных аналитических выражений, пригодных для таких вычислений. Всевозможные оценки зачастую не позволяют достаточно полно судить о преимуществах одного метода перед другим. Поэтому для сравнения различных способов приема и декодирования удобно использовать метод статистического эксперимента на электронно- вычислительных машинах. Такой подход весьма перспективен, так как моделирование процесса заданной обработки случайной последовательности на современных машинах не вызывает трудности, а полученные результаты позволяют достаточно быстро принимать обоснованные решения.

1. Бородин Л. Ф. Введение в теорию помехоустойчивого кодирования.–М.:Советское радио, 1968.
2. Колесник В. Д., Мирончиков Е. Т. Декодирование циклических кодов. –М.:Связь,1968.
3. Тепляков И. МИ., Рощин Б. В., Вейцель В. А. Радиосистемы передачи информации. –М.: Радио и связь,1982.